Bottom-Up SegTree

Point Update와 Range Query를 지원하는 가장 기본적인 SegTree이다. 메모리는 2*N 만큼 선언하면 된다.

수열의 Index는 0부터, 전체 Tree의 Index는 1부터 사용되는 샘플 코드이다.

int N;
struct SegTree {
    int d[2'000'010];
    void build() {
        for(int i = N - 1; i >= 1; --i) d[i] = d[i<<1] ^ d[i<<1|1];
    }
    void updatePoint(int p, int v) {
        p += N;
        d[p] = v;
        for(p>>=1; p > 0; p>>=1) {
            d[p] = d[p<<1] ^ d[p<<1|1];
        }
    }
    int getRange(int l, int r) {
        int ret = 0;
        l += N, r += N;
        for(;l<=r; l>>=1, r>>=1) {
            if (l&1) ret ^= d[l++];
            if (~r&1) ret ^= d[r--];
        }
        return ret;
    }
} seg;

Top-Down SegTree

이 경우는 가급적 다른 자료구조를 사용하자. 재귀호출 속도 및 메모리에서 손해를 본다.

Top-Down SegTree with Lazy

Lazy 연산은 Range Update 때문에 발생한다. 덧셈의 Range Update는 가급적 Fenwick으로 처리하자. (Range Update를 구간 끝점 2개의 Point Update로 대체한 후 적분 개념 활용하면 된다)

덧셈을 제외한 경우에는 SegTree 사용이 강제되는데, Top-Down이 Lazy 처리에 압도적으로 편리하다. 아래 예제는 Lazy XOR 연산을 처리한다.

int N;
struct SegNode {
    int val;
    int lazy;
};

struct LazySeg {
    SegNode tree[2'000'010];
    int arr[500'010];
    
    int init(int x, int s, int e) {
        if (s == e) return tree[x].val = arr[s];
        int m = (s+e)>>1;
        return tree[x].val = init(x<<1,s,m) ^ init(x<<1|1,m+1,e);
    }
    void init() {
        init(1, 1, N);
    }

    void push(int x, int s, int e) {
        if (tree[x].lazy == 0) return;
        if ((e-s+1) % 2 != 0) tree[x].val ^= tree[x].lazy;
        if (s != e) {
            tree[x<<1].lazy ^= tree[x].lazy;
            tree[x<<1|1].lazy ^= tree[x].lazy;
        }
        tree[x].lazy = 0;
    }

    void updateRange(int x, int s, int e, int l, int r, int v) {
        push(x, s, e);
        if (r < s || e < l) return;
        if (l <= s && e <= r) {
            tree[x].lazy ^= v;
            push(x, s, e);
            return;
        }
        int m = (s+e)>>1;
        updateRange(x<<1,s,m,l,r,v);
        updateRange(x<<1|1,m+1,e,l,r,v);
        tree[x].val = tree[x<<1].val ^ tree[x<<1|1].val;
    }
    void updateRange(int l, int r, int v) {
        updateRange(1, 1, N, l, r, v);
    }
    
    int getRange(int x, int s, int e, int l, int r) {
        push(x, s, e);
        if (r < s || e < l) return 0;
        if (l <= s && e <= r) return tree[x].val;
        int m = (s+e)>>1;
        return getRange(x<<1,s,m,l,r) ^ getRange(x<<1|1,m+1,e,l,r);
    }
    int getRange(int l, int r) {
        return getRange(1, 1, N, l, r);
    }
} lazySeg;

Dynamic Top-Down SegTree with Lazy

초기값이 주어지지 않고 쿼리로만 업데이트가 되는 경우에는 Dynamic하게 필요한 구간만 SegTree를 생성하는 방법도 있다. 기존 x<<1, x<<1|1 이 좌우 자식으로 내려가는 구조를 나타낸 것인데, 이를 진짜 tree 구조로 바꾼 것.

int N;
struct SegNode {
    int val;
    int lazy;
    SegNode* l;
    SegNode* r;
} sn[4'000'000];
int sidx = 0;

SegNode* newNode() {
    return &sn[sidx++];
}

struct LazySeg {
    SegNode* root;

    void init() {
        root = newNode();
    }

    void push(SegNode* x, int s, int e) {
        if (x == 0 || x->lazy == 0) return;
        if ((e-s+1) % 2 != 0) x->val ^= x->lazy; // 구간 홀수일 때만 xor 의미가 있다.
        if (s != e) {
            if (x->l == 0) x->l = newNode();
            if (x->r == 0) x->r = newNode();
            x->l->lazy ^= x->lazy;
            x->r->lazy ^= x->lazy;
        }
        x->lazy = 0;
    }

    void updateRange(SegNode* x, int s, int e, int l, int r, int v) {
        push(x, s, e);
        if (x == 0) return;
        if (r < s || e < l) return;
        if (l <= s && e <= r) {
            x->lazy ^= v;
            push(x, s, e);
            return;
        }
        int m = (s+e)>>1;
        if (x->l == 0) x->l = newNode();
        if (x->r == 0) x->r = newNode();
        updateRange(x->l,s,m,l,r,v);
        updateRange(x->r,m+1,e,l,r,v);
        x->val = x->l->val ^ x->r->val;
    }
    void updateRange(int l, int r, int v) {
        updateRange(root, 1, N, l, r, v);
    }
    
    int getRange(SegNode* x, int s, int e, int l, int r) {
        push(x, s, e);
        if (x == 0) return 0;
        if (r < s || e < l) return 0;
        if (l <= s && e <= r) return x->val;
        int m = (s+e)>>1;
        return getRange(x->l,s,m,l,r) ^ getRange(x->r,m+1,e,l,r);
    }
    int getRange(int l, int r) {
        return getRange(root, 1, N, l, r);
    }
} lazySeg;

Time Complexity

• Point Update: $O(\log n)$
• Range Update: $O(\log n)$
• Range Query: $O(\log n)$